Objetivo:
Esse artigo visa apresentar duas metodologias matemáticas de aplicação simples e muito vantajosas para o equacionamento matemático de curvas de performance de bombas centrífugas.
Muitas vezes nos deparamos com esse assunto, sendo necessário realizar ajustes aproximados de leituras de pontos com vazão de bombeamento versus altura manométrica de pontos de trabalho de bombas centrífugas, para determinação gráfica (menos precisa) de concordância entre a curva do equipamento e a curva do sistema.
Com a presente metodologia, poder-se-á dispor de uma equação matemática do equipamento, a qual poderá ser associada à curva do sistema (Instalação Hidráulica), para determinação analítica do ponto de trabalho.
A presente metodologia também pode ser associada às variáveis de rendimento, potência e de NPSH requerido do conjunto motor-bomba.
Metodologias Sugeridas
Em projetos de estações elevatórias, a curva do sistema (F1) é confrontada com a curva do conjunto motor-bomba (F2) a fim de serem determinados os pontos de trabalho nas diversas situações operacionais:
- Desnível geométrico máximo = HG.máx (NA.mín no poço de sucção);
- Desnível geométrico mínimo = HG.mín (NA.máx no poço de sucção);
- Conjuntos motor-bomba operando em associação;
- Conjunto motor-bomba operando isoladamente.
A fim de não se determinar estes pontos de trabalho graficamente (de forma aproximada…), é importante saber a função matemática de cada uma das curvas supra referidas, para que haja uma abordagem analítica com solução exata do problema. As curvas em questão são:
- Curva do Sistema: AMT.s = F1(Q²) = HG + ΔH.loc + ΔH.dist → função conhecida!
- Curva da Bomba: AMT.b = F2(QE) → a determinar conforme curva do fabricante.
A função F2(QE) pode ser obtida por processos numéricos tomando como base pares ordenados (Qi;Hi) extraídos da curva do fabricante. Após o conhecimento da função F2(QE), iguala a mesma com a função F1(Q²) e resolve-se o sistema de 02 equações a 02 incógnitas para se determinar a vazão Q (solução) que satisfaz ao problema. Em seguida, substitui a vazão Q em qualquer uma das funções e determina o valor de AMT (tal que AMT.s = AMT.b).
Sobre a função F1(Q²), temos as seguintes parcelas:
- Desnível HG(máx/mín) = NA.chegada – NA.sucção(mín/máx)
- Perdas de carga localizadas ΔH.loc = K.V²/2g = Kp.Q² sendo Kp = K.16/(π².D4.2g)
Nota1: Além da opção da taquicarga, outra opção para cálculo de ΔH.loc é por Leq.
- ΔH.dist = f.L.V²/(D.2g) = Kq.f.Q² sendo: Kq = L.16/(π².D5.2g) e f(fricção)
Nota2: Percebe-se claramente a razão porque F1 é uma dependência de Q².
Portanto, F1(Q²) pode ser escrita da seguinte forma:
F1(Q²) = AMT.s = HG + (Kp + Kq.f).Q2
onde (Kp + Kq.f) > 0 (parábola com concavidade voltada para cima).
No tocante à função F2(QE) = AMT.b, serão aqui apresentadas 02 metodologias para a sua determinação, tendo em conta:
- Metodologia 1 – o motor opera sempre em sua rotação plena (N = Nm); e
- Metodologia 2 – o motor pode operar em rotação igual ou inferior à sua rotação plena (N ≤ Nm), situação esta em que há um inversor de frequência instalado no sistema.
Nesta função F2(QE), o valor do expoente E dependerá de qual metodologia será utilizada para a determinação desta função.
Metodologia 1
Polinômio INTERPOLATIVO de Grau 4 (ou seja, E = 4), SEM dependência de N
Na determinação dos 05 coeficientes A4, A3, A2, A1, A0 do polinômio representativo de F2(Q4), tomam-se 05 pontos Pi(Qi;Hi), com i de 1 a 5. Observe que o ponto P3 (i=3) refere-se ao valor de Q e H(=AMT) obtido antecipadamente com a função F1(Q²) = curva do sistema.
É recomendável que os pontos P1 e P2 sejam tomados com suas abcissas (vazão – Q) antes da abcissa do ponto P3 (ou seja, Q3), e que os pontos P3 e P4 sejam tomados com suas abcissas (vazão – Q) após a abcissa do ponto P3.
Resulta Q1 < Q2 < Q3 < Q4 < Q5 (sendo que o ponto P1 não pode ser o Shut-Off). Dos valores citados ao final da página anterior, temos que:
# A matriz dos coeficientes das equações lineares utilizadas para a determinação dos coeficientes do polinômio de grau 4 é denominada [ Ce ] e é do tipo Quadrada (ou seja, pode ser invertida…), com dimensão 4×4 (número de linhas = número de colunas).
# A matriz dos termos independentes das equações lineares utilizadas para a determinação dos coeficientes do polinômio de grau 4 é denominada [ I ] e é do tipo Coluna, com dimensão 4×1 (linhas x colunas).
# A matriz dos coeficientes do polinômio de grau 4 é denominada [ Cp ] e é também do tipo Coluna, com dimensão 4×1 (linhas x colunas), a qual é a solução a ser procurada.
Assim, o problema consiste em resolver o sistema matricial:
[ Ce].[Cp ] = [ I ] → [ Cp ] = [ I ]/[ Ce ]
Como não há divisão de matrizes (apenas produto de matrizes…), recorre-se à inversa (diz-se “Jacobiano”) de [ Ce ] = [ Ce ]-1, e a solução do sistema passa a ser:
[ Ce ]-14×4 .[ I ]4×1 = [ Cp ]4×1
Atenção: Verificar previamente o valor do determinante de [ Ce ] – Não deve ser nulo!
Em termos das dimensões das matrizes, a condição que permite a operação do produto e a dimensão da matriz resultante podem ser visualizadas na figura a seguir:
Assim, resulta que: (Regressão Polinomial)
Para cálculo da matriz inversa [ J ] e do resultado da matriz procurada [ Cp ], fez-se uso de funções específicas disponíveis em planilha Excel, a saber:
- “MATRIZ.INVERSO” para cálculo do Jacobiano [ J ]; e
- “MATRIZ.MULT” para cálculo da matriz [ Cp ].
Por fim, matriz coluna [ Cp ] com os valores dos coeficientes do polinômio procurado é:
Importante: Neste exemplo, Y = H (AMT) e X = Q (vazão), com seus valores em unidades coerentes, ou seja, AMT em “mca” e a vazão Q em “m³/s”.
Metodologia 2
Função Quadrática de Grau 2 (ou seja, E = 2) COM dependência da rotação N
Conforme visto anteriormente (em “Curvas Características de uma Bomba”), a curva de performance de uma bomba pode ser representada como uma relação das grandezas Q (vazão), AMT (altura manométrica) e N (rotação do equipamento), mediante a equação:
H = – C.Q2 + B.N.Q+ A.N2
Do exposto, nesta metodologia a função F2(QE) = H (=AMT) possui valor de E = 2, sendo assim uma parábola com concavidade voltada para baixo (coeficiente de Q2 é -C, sinal negativo), ao contrário da função F1(Q2) que, conforme já visto, possui concavidade voltada para cima. E são necessários apenas 03 pontos Pi(Qi;Hi), com i = 1,2,3.
Para fins comparativos de resultados entre as Metodologias 1 e 2, serão utilizados os pontos P1, P3 e P5 da Metodologia 1 como sendo os pontos P1, P2 e P3 da Metodologia 2. Assim:
Os rendimentos (na condição N = No) também foram aqui referidos pois a eficiência da máquina é modificada com a alteração da rotação do equipamento, o que necessita também ser avaliado…
Mas, voltando à determinação dos coeficientes A, B e C, temos que:
Nota: Ver Manual de Proteção contra o Golpe de Aríete (Almeida, 1981 / LNEC – Lisboa, Portugal)
Observe que a abordagem matemática, do ponto de vista matricial, utilizada aqui para a determinação dos coeficientes A, B e C, é praticamente a mesma descrita na resolução pela Metodologia 1 (pequenas diferenças…).
No que tange à avaliação da alteração do rendimento para rotações distintas da rotação plena do motor (N ≠ No), sugere-se a seguinte metodologia (Macintyre): ηi = 1 – (1 – η).(No / Ni)0,1
BIBLIOGRAFIAS DE REFERÊNCIA
